Bogdan Miś: Jaka matematyka dla humanistów?8 min czytania

2013-06-09.

Podejmuję temat, zachęcony przez komentatorów, szczególnie zaś – paradoksalnie – przez tych, którzy uważają, że wyższa (a w gruncie rzeczy w ogóle żadna…) matematyka nie jest humanistom i „zwykłym” przyrodnikom do niczego potrzebna.

Zacznę od tego – panowie – że… przyznam wam rację. Przy jednym zastrzeżeniu: że słowo „matematyka” będziemy rozumieć tradycyjnie, po szkolnemu.

Bardzo wielu ludzi, którzy kontakt z matematyką zakończyli właśnie w szkole, widzi tę dziedzinę wiedzy jako naukę o działaniach na różnych rodzajach liczb, w istocie – rodzaj skomplikowanej buchalterii. Matematyka jawi się im jako zestaw najrozmaitszych dawno wymyślonych i raz na zawsze „zatwierdzonych” wzorków i regułek, które trzeba było niegdyś – delikatnie mówiąc, bez żadnej radości – wykuć na pamięć. Myślą oni, że im o wyższej matematyce mówimy, tym na większych liczbach rachujemy, a stosowane wzory stają się bardziej skomplikowane.  Przyznają, że matematyka jest ważna, bo dzięki niej jakoś tam wylicza się konstrukcje mostów, albo robi wielce użyteczne komuś tam spisy ludności. Słowem sądzą, że matematyka – to wyłącznie zastosowania.

Tak oczywiście nie jest. Gdyby tak było, to naturalnie taka matematyka nie byłaby niemal nikomu potrzebna; może właśnie poza technikami, którzy podstawiają sobie do wzorków jakieś dane i wychodzi im z tego gdzie ewentualnie wkręcić jakąś śrubkę, albo robiącymi marketingowe opracowania statystykami.

Nie byłoby wówczas warto tego uczyć przez ponad dziesięć lat w szkole przyszłych historyków, lekarzy, poetów…

Niestety, tego mniej więcej się właśnie w typowej szkole – nie tylko polskiej – uczy. I w tym sensie przyznaję rację ludziom do matematyki nastawionym niechętnie.

Wiele lat temu przeżyłem naprawdę niezwykłą przygodę.  W trakcie najzupełniej towarzyskiej i prywatnej rozmowy z dyrektorką pewego warszawskiego liceum – opowiedziałem jej, jak sobie wyobrażam naukę matematyki w klasach humanistycznych. Żal mi było tej zdolnej młodzieży, która musiała wkuwać jakieś durnowate formułki, więc gadałem pewno z pasją, zresztą temat „od zawsze” leżał mi wątrobie. No i owa dama zareagowała w sposób zupełnie niesłychany, żeby nie powiedzieć szalony; powiedziała mianowicie „no to niech pan weźmie pierwszą klasę i doprowadzi ją do matury wedle własnego programu, zobaczymy co z tego wyniknie; nikt się panu nie będzie wtrącał”.

Przez ładnych kilka lat uczyłem matematyki studentów. Ale to byli studenci… matematyki, albo elektroniki. Rozmowa o tych tematach z humanistami była nieco ryzykowna – tym bardziej, że w momencie otrzymania propozycji od dawna byłem „matematycznie nieczynny”, rzuciwszy tę dyscyplinę dla dziennikarstwa naukowego. Pomyślałem jednak, że skoro ta miła kobieta może tak z marszu zaryzykować, a ryzykowała przecież sporo, nasza znajomość była dość krótka – to byłoby niehonorowe wyzwania nie podjąć.

Nie opiszę tu ze szczegółami mojej przygody nauczycielskiej. Nie opowiem więc, że część lekcji spędzaliśmy na pogaduchach (o matematyce, ma się rozumieć, ale zgoła nie tylko) w pobliskim parku; że zawsze zwracałem się do nich – od pierwszej klasy – per „pani” i „pan”… Powiem tylko: fajna to przygoda była, a pochwalę się, że spośród moich uczniów paru porobiło całkiem spektakularne kariery (grabula, Maksiu; uściski dłoni, Jacek!); jest to, naturalnie, wyłącznie kwestia ich talentów, nie mojego nauczania – w końcu te kariery z matematyką ani żadną nauką ścisłą nie mają nic wspólnego.

W każdym razie, kiedy się czasem spotkamy – „przybijamy piątkę” bez obrzydzenia. Nie o to jednak chodzi. Opowiem, czego ich uczyłem. Ale zacznę od tego, czego nie uczyłem.

Nie uczyłem ich więc wzorków ani regułek. Nie sądzę, by ktokolwiek z nich umiał wtedy – albo dziś – rozwiązać równanie kwadratowe, prawdę mówiąc. Nie uczyłem ich także żadnych „rachunków na wielkich liczbach” – jakoś bardzo im i mnie  przypadło do przekonania spostrzeżenie jednego z wielkich polskich uczonych, że matematykowi w gruncie rzeczy wystarczy znajomość zera, jedynki, liczby „pi” i liczby „e”, a już liczba dwa jest dla niego absolutną egzotyką. Nie napełnialiśmy wanien z wodą z dwóch kranów, nie jeździliśmy pociągami z miasta A do miasta B. Nic z tych rzeczy.

Mówiłem im natomiast, i starłem się to wykazać, że matematyka – choć historycznie jest abstrakcyjnym uogólnieniem ludzkiej obserwacji świata fizycznego – już dawno przestała mieć jakikolwiek związek z Przyrodą i tak zwaną Rzeczywistością, cokolwiek te Wielkie Słowa znaczą. Jest od co najmniej stulecia wiedzą samą w sobie i samą dla siebie. Jest swoistą abstrakcyjną grą, której reguły wybieramy sami i sami ze sobą w nią gramy tak jak my chcemy, a nie żaden Stwórca czy Natura; albo lepiej – jest uniwersalnym językiem, doskonale służącym do opisu zjawisk, ale nie mówiącym nic o żadnych „prawdach”, a już na pewno nie o „prawdach oczywistych” jak epokę temu definiowano aksjomaty i pewniki.

Pokazywałem im zmienność i ewolucję  poglądów, niezwykle charakterystyczną dla tej dziedziny wiedzy. Myślę, że młody, z natury mniej lub bardziej buntowniczy umysł, z radością dowiadywał się, że i w matematyce nie ma żadnych „prawd ostatecznych”: że proste równoległe mogą mieć czasami punkt wspólny, że w pewnych okolicznościach suma kątów w trójkącie nie jest równa 180 stopni, że pomiędzy nieskończonością opisującą zbiór liczb naturalnych a nieskończonością opisującą zbiór liczb rzeczywistych można czasem wstawić jeszcze jedną nieskończoność – a czasem nie…

Niektórzy byli bardzo zadowoleni, że słyszą herezje, za które w sąsiedniej szkole dostaliby z miejsca siarczystą „pałę” – a to jest prawda…

Tylko może troszkę niekonwencjonalnie określona.

Że czasami ze zbioru zbiorów da się wybrać po jednym elemencie, a czasem – nie, i że jeśli da się wybrać, to tym samym – nieuchronnie! – dowolną kulę można tak podzielić na kawałki, aby się z nich dało złożyć dwie identyczne z wyjściową (tu jeden z moich uczniów zauważył, że to stwierdzenie, zwane „paradoksalnym rozkładem kuli”, zapewne tłumaczy znany cud rozmnożenia chleba – wychodzi na to, że Ktoś znał i umiał stosować pewnik wyboru…). Ale świat z tym paradoksem nie jest bardziej słuszny ani bardziej prawdziwy od tego, w którym ów paradoks nie jest możliwy.

Pobawiliśmy się trochę – nie wszystko naturalnie nazywając po imieniu – topologią i teorią abstrakcyjnych przestrzeni. Bardzo ich – pamiętam – cieszyło, że tost z wędliną da się jednym cięciem noża podzielić tak, by i chleb, i masło, i wędlina zostały wraz przepołowione. I że kiedy hipopotam zamyka oko, to mu się musi gdzieś skóra rozciągnąć, albo że na kuli ziemskiej zawsze muszą znaleźć się dwa przeciwległe punkty, w których panuje to samo ciśnienie i temperatura – i że jedno, i drugie, i trzecie, to przetłumaczone na „ludzki język” bardzo trudne twierdzenia matematyczne.

Poszaleliśmy trochę z tą matematyką. Nie przejmowałem się – nie musiałem wówczas – jakimś „minimum programowym” ani w ogóle żadnym programem (realizowałem wszak „pomysł autorski”), nie ucząc więc moich młodych przyjaciół żadnych technik rachunkowych – pomogłem im zrozumieć na przykład, że budzące zgrozę u wielu pojęcie całki, to w gruncie rzeczy zwykłe pole, zaś pojęcie pochodnej – to prędkość. I że drugą pochodną drogi po czasie oblicza… samochód, jak mu się nadepnie na pedał gazu. Nie skończyliśmy na matematyce liczb rzeczywistych; rozmawialiśmy o liczbach zespolonych i ich różnych interpretacjach, o kwaternionach, o oktawach Cayleya. Doszliśmy chyba wspólnie (bez szczegółów naturalnie) aż do twierdzenia Frobeniusa – tak trudnego, że jego dowodu nie ma w podręcznikach… dla studentów matematyki.

Myślę, że zrozumieli i wiedzą, że matematyka nie jest nauką zamkniętą ani skończoną. Że co roku publikuje się dowody setek i tysięcy nowych twierdzeń i wprowadza dziesiątki nieznanych dotychczas pojęć i punktów widzenia.  Powinni wiedzieć, że żyjemy w czasach, w których jest to dyscyplina tak rozległa, że jeden matematyk najczęściej nie rozumie z pracy drugiego niemal nic poza spójnikami, i że to jest normalne, naturalne i cudowne. Że – co więcej – nie ma już od dawna jednej matematyki, tylko są najzupełniej różne matematyki, i żadna nie jest od innej bardziej prawdziwa.

Słowem – moi uczniowie zdobyli (przynajmniej niektórzy, bo miałem naturalnie i takich, których to wszystko razem dokładnie nic nie obchodziło – i też powychodzili na ludzi…) coś, co wielki sędziwy matematyk, którego miałem przed laty zaszczyt być słuchaczem, profesor Krzysztof Maurin mianowicie, nazywał „taką ogólną kulturą matematyczną”.

I to jest odpowiedź na to, co powinien wiedzieć o matematyce rasowy humanista: niekoniecznie znać szczegóły tego-czy-owego. Mieć właśnie „taką ogólną kulturę matematyczną”. Na pewno nie musi umieć „liczyć na bardzo dużych liczbach”. Dobrze by było, żeby wiedział, iż Pitagoras, Leibniz, Gauss i Banach uprawiali ten sam zawód.

Nawiasem mówiąc, profesor Maurin dostrzegał braki owej „ogólnej kultury matematycznej” także u wielu… zawodowych matematyków.

Bogdan Miś

PS. Dla ciekawych: moja „kariera” nauczycielska zakończyła się wraz z przejściem na emeryturę wspomnianej pani dyrektor. Zadanie wykonaliśmy, klasa doszła do matury. Z jej następczynią (bezkonfliktowo) uzgodniliśmy, że eksperyment z wpajaniem humanistom kultury matematycznej uznajemy za zamknięty. W polskiej szkole kończył się okres potransformacyjnych szaleństw. Nadchodziły ściśle zdefiniowane przez MEN reguły i, za przeproszeniem, reformy.